Question

6．已知点A（-3，2），在直线y=-x点找一点B，在x轴上找一点C，使此三点构成三角形，则△ABC的周长的最小值为$\sqrt{26}$．

Answer 1

分析 由题意可得点A关于x轴和y=-x的对称点，把三角形的周长转化后，由距离公式可得．

解答 解：点A（-3，2）关于x轴的对称点为A′（-3，-2），
由对称性可得A′C=AC，
设点A（-3，2）关于y=-x的对称点为A″（a，b），
由对称性可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-2}{a-（-3）}•（-1）=-1}\\{\frac{b+2}{2}=-\frac{a-3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=3}\end{array}\right.$，即A″（-2，3），
故△ABC的周长AB+AC+BC=A″B+A′C+BC
结合图象可得当A′、C、B三点共线时，
周长取最小值即|A′A″|=$\sqrt{（-3+2）^{2}+（-2-3）^{2}}$=$\sqrt{26}$，
故答案为：$\sqrt{26}$．

点评 本题考查两点间的距离公式，由对称性转化距离是解决问题的关键，属中档题．