Question

2．已知a＞0，b＞0且a+b=1，则3^a+3^b整数部分为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由a＞0，b＞0，a+b=1，将3^a+3^b转化为${3}^{a}+\frac{3}{{3}^{a}}$，根据a∈（0，1）可求得${3}^{a}+\frac{3}{{3}^{a}}$的取值范围，从而可求得M的整数部分．

解答 解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，
∴b=1-a，
∴3^a+3^b=${3}^{a}+\frac{3}{{3}^{a}}$，a∈（0，1）
令t=3^a，a∈（0，1），则t∈（1，3），
t+$\frac{3}{t}$在（1，$\sqrt{3}$]上单调递减，在[$\sqrt{3}$，2）上单调递增，
∴（$t+\frac{3}{t}$）_min=$\sqrt{3}+\frac{3}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$，
当t=1或t=3时，$t+\frac{3}{t}=4$，
∴2$\sqrt{3}≤t+\frac{3}{t}＜4$，
∴3^a+3^b整数部分为3，
故选：B．

点评 本题考查函数的单调性与最值，考查数学转化思想方法，训练了“对勾”函数的性质的掌握与应用，属于中档题．