Question

13．下列结论中正确的是（　　）

• A． 当x＞0且x≠1时，$lgx+\frac{1}{lgx}≥2$
• B． 当x＞0时，$\sqrt{x}+\frac{1}{{\sqrt{x}}}≥2$
• C． 当x≥3时，$x+\frac{1}{x}$的最小值是2
• D． 当0＜x≤1时，$x-\frac{1}{x}$无最大值

Answer 1

分析 利用基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值即可判断出结论．

解答 解：A.0＜x＜1时，lgx＜0，不成立；
B．当x＞0时，$\sqrt{x}+\frac{1}{{\sqrt{x}}}≥2$，当且仅当x=1时取等号，正确．
C．当x≥3时，f（x）=$x+\frac{1}{x}$，f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，∴函数f（x）单调递增，f（x）的最小值为3+$\frac{1}{3}$=$\frac{10}{3}$，不正确．
D.0＜x≤1时，f（x）=$x-\frac{1}{x}$，f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，因此函数f（x）单调递增，f（x）的最大值为0，因此不正确．
故选：B．

点评 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．