Question

3．若△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin²B=sinAsinC，求cosB的最小值．

Answer 1

分析 由正余弦定理和题意可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵△ABC中，sin²B=sinAsinC，
∴由正弦定理可得b²=ac，
再由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$
=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
当且仅当a=c时取等号．
故cosB的最小值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及基本不等式求最值，属基础题．