Question

13．如图所示，在四边形ABCD中，已知AC=$\sqrt{6}+\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{2}$，DC=2$\sqrt{3}$，AD∥BC．
（1）求∠DAC的值；
（2）当sin∠BAC+sin∠ABC取得最大值时，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）在△ACD中使用余弦定理解出cos∠DAC；
（2）由（1）知∠BAC+∠ABC=$\frac{2π}{3}$，利用两角和差的三角函数公式化简sin∠BAC+sin∠ABC，求出其取得最大值时各角的大小，分别求出△ABC和△ACD的面积．

解答 解：（1）在△ACD中，由余弦定理得：cos∠DAC=$\frac{A{D}^{2}+A{C}^{2}-C{D}^{2}}{2AC•AD}$=$\frac{4+4\sqrt{3}}{8+8\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$．
∴∠DAC=$\frac{π}{3}$．
（2）∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC=$\frac{π}{3}$．
∴∠BAC+∠ABC=$\frac{2π}{3}$．
∴sin∠BAC+sin∠ABC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}-B$）=$\frac{3}{2}sinB$+$\frac{\sqrt{3}}{2}cosB$=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）．
∴当B=$\frac{π}{3}$时，sin∠BAC+sin∠ABC取得最大值．
此时∠BAC=∠B=$\frac{π}{3}$．∴△ABC是等边三角形．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×{2}^{2}×sin\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
S_△ACD=$\frac{1}{2}AC•AD•sin∠DAC$=$\frac{1}{2}×（\sqrt{6}+\sqrt{2}）×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3+$\sqrt{3}$．
∴四边形ABCD的面积为S=S_△ABC+S_△ACD=3+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了余弦定理，三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，三角形的面积公式，属于中档题．