Question

17．在平面内，若有|$\overrightarrow{a}$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（2$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，则|$\overrightarrow{c}$|的最大值为$\frac{\sqrt{19}+\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 由条件可以求得$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{π}{3}$，从而可作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，并连接AB，取AB的中点D，连接OD，则有$\overrightarrow{OD}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}$，根据条件可以得到$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）⊥（\overrightarrow{c}-\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}）$，可作$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，并连接AC，DC，从而可以得到AC⊥DC，即点C在以AD为直径的圆上，从而得出当OC过圆心E时OC最大，即$|\overrightarrow{c}|$最大．而由余弦定理可以求出$AB=\sqrt{3}$，从而得出$∠OAB=\frac{π}{2}$，且$AE=CE=\frac{\sqrt{3}}{4}$，这样便可求出OE的值，进一步即可得出OC的值，即得出$|\overrightarrow{c}|$的最大值．

解答 解：根据条件，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=2cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=1$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{1}{2}$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{π}{3}$，如图，作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，则$∠AOB=\frac{π}{3}$，连接AB，取AB的中点D，连接OD，则$\overrightarrow{OD}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}$；
由$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（2\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）=0$得，$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}）=0$；
∴$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）⊥（\overrightarrow{c}-\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}）$；
作$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，连接AC，CD，则$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}，\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{c}-\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}$；
∴AC⊥DC；
∴C点在以AD为直径的圆上；
∴当OC经过圆心E时，OC最大，即$|\overrightarrow{c}|$最大；
在△AOB中，$OA=1，OB=2，∠AOB=\frac{π}{3}$；
∴由余弦定理得，$A{B}^{2}=1+4-4×\frac{1}{2}=3$；
∴$AB=\sqrt{3}$；
∴$∠OAB=\frac{π}{2}$；
$AE=CE=\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴$OE=\sqrt{1+\frac{3}{16}}=\frac{\sqrt{19}}{4}$；
∴$OC=OE+CE=\frac{\sqrt{19}+\sqrt{3}}{4}$；
∴$|\overrightarrow{c}|$的最大值为$\frac{\sqrt{19}+\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{19}+\sqrt{3}}{4}$．

点评 考查向量数量积的计算公式，已知三角函数求角，以及向量夹角的范围，向量的数乘运算，向量垂直的充要条件，圆的直径所对的圆周角为直角，余弦定理，直角三角形边的关系．