Question

10．已知函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx，cosx），$\overrightarrow{n}$=（cosx，-cosx）．
（1）求函数y=f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]时的值域；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足c=2，a=3，f（B）=0，求边b的值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积与三角函数的恒等变换，求出f（x）的解析式，再求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]取值范围即可；
（2）利用f（B）=0求出B的值，再由余弦定理求出b的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx，cosx），$\overrightarrow{n}$=（cosx，-cosx），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-$\frac{1}{2}$
=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-1
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，…4分
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]的值域为[-$\frac{3}{2}$，0]；…8分
（2）因为f（B）=0，即sin（2B-$\frac{π}{6}$）=1，
∵B∈（0，π），∴2B-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$），
∴2B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得B=$\frac{π}{3}$；…10分
又有c=2，a=3，
在△ABC中，由余弦定理得：
b²=c²+a²-2accos$\frac{π}{3}$=4+9-2×2×3×$\frac{1}{2}$=7，
即b=$\sqrt{7}$．…14分．

点评 本题考查了平面向量的数量积与三角函数的恒等变换问题，也考查了解三角形的应用问题，是综合性题目．