Question

15．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F₂，左准线是l，若该双曲线右支上存在点P，使PF₂等于P到直线l的距离，则该双曲线离心率的取值范围是（1，$\sqrt{2}+1]$．

Answer 1

分析 设P点的横坐标为x，根据该双曲线右支上存在点P，使PF₂等于P到直线l的距离，利用双曲线的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围．

解答 解：设P点的横坐标为x
∵该双曲线右支上存在点P，使PF₂等于P到直线l的距离，
∴根据双曲线的第二定义，可得ex-a=x+$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∴（e-1）x=a+$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∵x≥a，∴a+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥a（e-1）
∴e²-2e-1≤0，
∵e＞1，∴∴e∈（1，$\sqrt{2}+1]$．
故答案为（1，$\sqrt{2}+1]$．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于基础题．