Question

20．给出下列几种说法：
①若log_ab•log₃a=1，则b=3；
②若a+a^-1=3，则a-a^-1=$\sqrt{5}$；
③f（x）=log（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$为奇函数；
④f（x）=$\frac{1}{x}$为定义域内的减函数；
⑤若函数y=f（x）是函数y=a^x（a＞0且a≠1）的反函数，且f（2）=1，则f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，其中说法正确的序号为①③．

Answer 1

分析 ①，根据换底公式可得；log_ab•log_ba=1；
②，由a+a^-1=3⇒a=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，则a-a^-1=±$\sqrt{5}$；
③，∵f（-x）+f（x）=log_a（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=0；
④，f（x）=$\frac{1}{x}$的减区间为（-∞，0），（0，+∞）；
⑤，函数y=a^x（a＞0且a≠1）的反函数是f（x）=log_ax，且f（2）=1，⇒a=2．

解答 解：对于①，根据换底公式可得；log_ab•log_ba=1，所以当log_ab•log₃a=1，则b=3，正确；
对于②，由a+a^-1=3⇒a=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，则a-a^-1=±$\sqrt{5}$，故错；
对于③，∵f（-x）=log_a（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）且f（-x）+f（x）=log_a（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=0，故f（x）为奇函数，正确；
对于④，f（x）=$\frac{1}{x}$的减区间为（-∞，0），（0，+∞），故错；
对于⑤，函数y=a^x（a＞0且a≠1）的反函数是f（x）=log_ax，且f（2）=1，⇒a=2，∴f（x）=log₂x，故错．
故答案为：①③．

点评 本题考查了命题真假的判定，涉及到了函数、指数对数运算，属于基础题．