Question

10．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₆=S₃+14，a₆=10-a₄，a₄＞a₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}中，b_n=log₂ a_n，求数列{a_n•b_n }的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据递推公式，即可求数列{a_n}的通项公式；
（II）求得数列{b_n}的通项，再利用错位相减法，即可求得数列{b_n}的前n项的和T_n

解答 解：（Ⅰ）由已知a₄+a₅+a₆=14，∴a₅=4，
又数列{a_n}成等比，设公比q，则$\frac{4}{q}$+4q=10，
∴q=2或$\frac{1}{2}$（与a₄＞a₃矛盾，舍弃），
∴q=2，a_n=4×2^n-5=2^n-3；
（Ⅱ）b_n=n-3，∴a_n•b_n=（n-3）×2^n-3，
T_n=-2×2^-2-1×2^-1+0+…+（n-3）×2^n-3，
2T_n=-2×2^-1-1×2⁰+0+…+（n-3）×2^n-2，
相减得T_n=2×2^-2-（2^-1+2⁰+…+2^n-3）+（n-3）×2^n-2=$\frac{1}{2}$-（2^n-2-$\frac{1}{2}$）+（n-3）×2^n-2
=（n-4）×2^n-2+1，

点评 本题考查数列的通项与求和，解题的关键是掌握数列求通项的方法，正确运用错位相减法，属于中档题．