Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且点P（a_n，S_n）（其中n≥1且n∈N^*）在直线4x-3y-1=0上，数列$\{\frac{1}{b_n}\}$是首项为-1，公差为-2的等差数列．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设${c_n}=\frac{1}{{{a_n}{b_n}}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用点在直线上，得到递推关系式，判断数列是等比数列，然后求出通项公式．
（2）化简数列的通项公式，利用裂项法求和即可．

解答 （1）解：由点P（a_n，S_n）在直线4x-3y-1=0上，
∴4a_n-3S_n-1=0即3S_n=4a_n-1，又3S_n-1=4a_n-1-1（n≥2），两式相减得a_n=4a_n-1，
∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=4（n≥2）$，∴{a_n}是以4为公比的等比数列，
又a₁=1，∴${a_n}={4^{n-1}}$，
∵$\{\frac{1}{b_n}\}$是以$\frac{1}{b_1}=-1$为首项，以-2为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{b_n}=-1+（n-1）×（-2）=1-2n$，
∴${b_n}=\frac{1}{1-2n}$．
（2）由（1）知，${c_n}=\frac{1}{{{a_n}{b_n}}}=\frac{1-2n}{{{4^{n-1}}}}$，∴${T_n}=\frac{-1}{4^0}+\frac{-3}{4^1}+\frac{-5}{4^2}+…+\frac{3-2n}{{{4^{n-2}}}}+\frac{1-2n}{{{4^{n-1}}}}$，
∴$\frac{1}{4}{T_n}=\frac{-1}{4^1}+\frac{-3}{4^2}+…+\frac{3-2n}{{{4^{n-1}}}}+\frac{1-2n}{4^n}$，以上两式相减得，
$\frac{3}{4}{T}_{n}=-1-（\frac{2}{{4}^{1}}+\frac{2}{{4}^{2}}+…+\frac{2}{{4}^{n-1}}）-\frac{1-2n}{{4}^{n}}$
=$-1-\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{4}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{4}}-\frac{1-2n}{{4}^{n}}$
=$-\frac{5}{3}$+$\frac{6n+5}{3×{4}^{n}}$，

∴T_n=$-\frac{20}{9}+\frac{6n+5}{9×{4}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的递推关系式以及数列求和的应用，考查转化思想以及计算能力．