Question

20．已知等差数列{a_n}满足：a₃=3，a₅+a₇=12，{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求a_n及S_n；     （2）令b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃=3，a₅+a₇=12，
∴a₁+2d=3，2a₁+10d=12，
解得a₁=d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
（2）b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．