Question

2．已知函数f（x）=log₂$\frac{1+x}{1-x}$．
（Ⅰ）判断f（x）奇偶性并证明；
（Ⅱ）用单调性定义证明函数g（x）=$\frac{1+x}{1-x}$在函数f（x）定义域内单调递增，并判断f（x）=log₂$\frac{1+x}{1-x}$在定义域内的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\frac{1+x}{1-x}$＞0，求得函数f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，再根据f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（Ⅱ）设-1＜x₁＜x₂＜1，求得 g（x₁）-g（x₂）＜0，可得g（x）在（-1，1）内为增函数．令g（x）=t，则f（x）=log₂t，故本题即求函数t在（-1，1）内的单调性相同，由此得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由$\frac{1+x}{1-x}$＞0，求得-1＜x＜1，故函数f（x）的定义域为（-1，1），
再根据f（-x）=${log}_{2}\frac{1-x}{1+x}$=-log₂$\frac{1+x}{1-x}$=-f（x），故函数f（x）为奇函数．
（Ⅱ）设-1＜x₁＜x₂＜1，∵g（x₁）-g（x₂）=$\frac{1{+x}_{1}}{1{-x}_{1}}$-$\frac{1{+x}_{2}}{1{-x}_{2}}$=$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）}{（1{-x}_{1}）•（1{-x}_{2}）}$，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，1-x₁＞0，1-x₂＞0，∴g（x₁）＜g（x₂），
∴g（x）=$\frac{1+x}{1-x}$在（-1，1）内为增函数．
令g（x）=t，则f（x）=log₂t，故f（x）在定义域内的单调性与t的单调性相同，
由于t在定义域（-1，1）内但地递增，故f（x）在定义域（-1，1）内的单调递增．

点评 本题主要考查函数的定义域，函数的单调性，复合函数的单调性，属于中档题．