Question

17．已知圆C经过M（3，-3），N（-2，2）两点，且在y轴上截得的线段长为$4\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l∥MN，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知M，N两点求出线段MN的垂直平分线的方程，得到圆心C（a，a-1），寻找未知数之间的关系是求圆的方程的关键，注意弦长问题的处理方法；
（Ⅱ）利用直线的平行关系设出直线的方程，利用设而不求的思想得到关于所求直线方程中未知数的方程，通过方程思想确定出所求的方程，注意对所求的结果进行验证和取舍．

解答 解：（Ⅰ）圆C经过M（3，-3），N（-2，2）两点，则线段MN的垂直平分线的方程是y+$\frac{1}{2}$=x-$\frac{1}{2}$，即y=x-1，
∴圆心C（a，a-1）．
又由在y轴上截得的线段长为4$\sqrt{3}$，
得（a-3）²+（a+2）²=12+a²，解得：a=1．
故圆C的方程为（x-1）²+y²=13；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=-x+m，
则A（x₁，m-x₁），B（x₂，m-x₂）
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=13}\end{array}\right.$，得2x²-（2+2m）x+m²-12=0．
由△＞0，∴m²-2m-25＜0
∴x₁+x₂=1+m，x₁x₂=$\frac{{{m^2}-12}}{2}$．
则由题意可知OA⊥OB，即k_OA•k_OB=-1
∴$\frac{{（m-{x_1}）}}{x_1}•\frac{{（m-{x_2}）}}{x_2}=-1$，即m²-m•（1+m）+m²-12=0，
∴m=4或m=-3．经验证符合△＞0，
∴y=-x+4或y=-x-3．

点评 本题考查直线与圆的综合问题，考查直线方程的求解方法和圆方程的求解方法，注意待定系数法的运用，考查学生对直线与圆相交弦长有关问题的处理方法，考查设而不求思想的运用，考查方程思想和转化与化归的思想，是中档题．