Question

20．已知函数f（x）=（x-b）lnx+x²在区间[1，e]上单调递增，则实数b的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-3]
• B． （-∞，2e]
• C． （-∞，3]
• D． （-∞，2e²+2e]

Answer 1

分析 令f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，对b进行讨论得出b的范围．

解答 解：f′（x）=lnx+$\frac{x-b}{x}$+2x=lnx-$\frac{b}{x}$+1+2x，
∵f（x）在[1，e]上单调递增，∴f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，
若b≤0，显然f′（x）＞0恒成立，符合题意，
若b＞0，则f′′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{b}{{x}^{2}}$+2＞0，
∴f′（x）在[1，e]上是增函数，
∴f′（x）≥f′（1）≥0，即-b+1+2≥0，解得0＜b≤3，
综上，b的范围是（-∞，3]．
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性与导数的关系，函数的最值计算，属于中档题．