Question

5．已知函数f（x）=ax-lnx+x²．
（Ⅰ）若a=-1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若a=1，?x₁∈（1，2），?x₂∈（1，2），使得f（x₁）-x₁²=mx₂-$\frac{1}{3}m{x_2}$³（m≠0），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；
（Ⅱ）得到$ln{x_1}-{x_1}=\frac{1}{3}mx_2^3-m{x_2}$；设h（x）=lnx-x在（1，2）上的值域为A，函数$g（x）=\frac{1}{3}mx{\;}^3-mx$在（1，2）上的值域为B，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意，f（x）=-x-lnx+x²，$f'（x）=-1-\frac{1}{x}+2x=\frac{{2{x^2}-x-1}}{x}=\frac{{（{2x+1}）（{x-1}）}}{x}$，
因为x∈（0，+∞），故当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，
故当x=1时，f（x）有极小值，极小值为f（1）=0，无极大值．
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x-lnx+x²．
因为?x₁∈（1，2），?x₂∈（1，2），使得$f（{x_1}）-x_1^2=m{x_2}-\frac{1}{3}mx_2^3（{m≠0}）$，
故$ln{x_1}-{x_1}=\frac{1}{3}mx_2^3-m{x_2}$；设h（x）=lnx-x在（1，2）上的值域为A，
函数$g（x）=\frac{1}{3}mx{\;}^3-mx$在（1，2）上的值域为B，
当x∈（1，2）时，$h'（x）=\frac{1}{x}-1＜0$，即函数h（x）在（1，2）上单调递减，
故h（x）∈（ln2-2，-1），又g'（x）=mx²-m=m（x+1）（x-1）．
（i）当m＜0时，g（x）在（1，2）上单调递减，此时g（x）的值域为$B=（{\frac{2m}{3}，-\frac{2m}{3}}）$，
因为A⊆B，又$-\frac{2m}{3}＞0＞-1$，故$\frac{2m}{3}≤ln2-2$，即$m≤\frac{3}{2}ln2-3$；
（ii）当m＞0时，g（x）在（1，2）上单调递增，
此时g（x）的值域为$B=（{-\frac{2m}{3}，\frac{2m}{3}}）$，因为A⊆B，又$\frac{2}{3}m＞0＞-1$，
故$-\frac{2m}{3}≤ln2-2$，故$m≥-\frac{3}{2}（{ln2-2}）=3-\frac{3}{2}ln2$；
综上所述，实数m的取值范围为$（-∞，\frac{3}{2}ln2-3]∪[3-\frac{3}{2}ln2，+∞）$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．