Question

15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin²B+sin²C=sin²A+2sinBsinCsin（B+C）．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦定理可得 b²+c²=a²+2bcsinA，再由余弦定理可得cosA=sinA，即可求出A，
（Ⅱ）根据基本不等式求出bc≤4+2$\sqrt{2}$，再根据三角形的面积公式计算即可

解答 解：（Ⅰ）sin²B+sin²C=sin²A+2sinBsinCsin（B+C），
由正弦定理可得 b²+c²=a²+2bcsinA，
由余弦定理可得 b²+c²-a²=2bcsinA，
∴cosA=sinA，
∴tanA=1，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{4}$
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b²+c²=4+$\sqrt{2}$bc，
∵b²+c²≥2bc，
∴4+$\sqrt{2}$bc≥2bc，当且仅当b=c时取等号，
即bc≤$\frac{4}{2-\sqrt{2}}$=4+2$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{2}}{4}$bc≤$\sqrt{2}$+1，
∴△ABC面积的最大值$\sqrt{2}$+1．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理三角形的面积公式在解三角形中的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题．