Question

19．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一个焦点与抛物线y²=8x的焦点重合，且焦点到其渐近线的距离为1，则此双曲线的实轴长2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，再由抛物线方程求出焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，由焦点到双曲线一条渐近线的距离为1列式，再结合隐含条件求解．

解答 解：如图，
由抛物线方程y²=8x，得抛物线的焦点坐标F（2，0），
即双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦点坐标为F（2，0），
双曲线的渐近线方程为$y=±\frac{b}{a}x$．
不妨取y=$\frac{b}{a}x$，化为一般式：bx-ay=0．
则$\frac{|2b|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=1$，即4b²=a²+b²，
又a²=4-b²，联立解得：a²=3，∴a=$\sqrt{3}$．
则双曲线的实轴长为$2\sqrt{3}$．
故答案为：$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线及抛物线的几何性质，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．