Question

15．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点分别为F₁，F₂，过F₂的直线与椭圆交于A，B两点，若△F₁AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆离心率为$\sqrt{6}-\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，设|AF₁|=m，则|AF₂|=2a-m，|BF₂|=2m-2a，|BF₁|=4a-2m，根据△F₁AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，可得m²+（2a-m）²=4c²，m²+m²=（4a-2m）²，联立解出即可得出．

解答 解：如图所示，
设|AF₁|=m，则|AF₂|=2a-m，|BF₂|=2m-2a，|BF₁|=4a-2m，
∵△F₁AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴m²+（2a-m）²=4c²，
m²+m²=（4a-2m）²，
联立解得：m=（4-2$\sqrt{2}$）a，e²=9-6$\sqrt{2}$，
解得e=$\sqrt{6}-\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{6}-\sqrt{3}$．

点评 本题考查了椭圆的定义及其性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．