Question

9．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），S_n为其前n项和，则S₅的值为（　　）

• A． 57
• B． 61
• C． 62
• D． 63

Answer 1

分析 由a_n=2a_n-1+1，得a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），可判断{a_n+1}是以2为公比，2为首项的等比数列，由此可求得a_n，然后利用分组求和法可得S_n，当n=5时，代入即可求得S₅=64-5-2=57，即可得到答案．

解答 解：由a_n+1=2a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=1，
∴所以{a_n+1}是以2为公比，2为首项的等比数列，
所以a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1，
∴S_n=（2-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n，
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n，
S_n=2ⁿ⁺¹-n-2．
=2ⁿ⁺¹-n-2．
∴当n=5时，S₅=64-5-2=57，
故答案选：A．

点评 本题考查由数列递推式求数列通项、求等比数列前n项和等知识，考查转化思想，属中档题．