Question

14．焦点在x轴上的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为$\frac{b}{3}$，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 根据椭圆的性质AB=2c，AC=AB=a，OC=b，根据三角形面积相等求得a和c的关系，由e=$\frac{c}{a}$，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：由椭圆的性质可知：
AB=2c，AC=AB=a，OC=b，
S_ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$•2c•b=bc，
S_ABC=$\frac{1}{2}$（a+a+2c）•r=$\frac{1}{2}$•（2a+2c）×$\frac{b}{3}$=$\frac{b（a+c）}{3}$，
∴$\frac{b（a+c）}{3}$=bc，a=2c，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
故答案选：C．

点评 本题主要考察椭圆的基本性质，考察三角形的面积公式，离心率公式，属于基础题．