Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2，∠BAC=90°，D是BC边的中点，E为AA₁的中点，直线A₁C与底面ABC所成的角为60°．
（Ⅰ）求证：A₁C∥面AB₁D；
（Ⅱ）求二面角A-BE-C的大小．

Answer 1

解：（1）取B₁C₁的中点G连接A₁G，CG则A₁G∥AD，CG∥B₁D
∴面A₁GC∥面AB₁D
∵A₁C?面A₁GC
∴A₁C∥面AB₁D
（2）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°
∴CA⊥AB，CA⊥AA₁且AB∩AA₁=A
∴CA⊥面AA₁B₁B
∴过A作AF⊥BE垂足为F连接CF则由三垂线定理知∠AFC即为二面角A-BE-C的平面角
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2，直线A₁C与底面ABC所成的角为60°
∴∠A₁CA=60°
∴在RT△A₁AC中AC=2，A₁A=ACtan60°=2
∴AE=
∴RT△BAE中AB=2，AE=∴
∵BE×AF=AB×AE
∴AF=
∴tan∠AFC==
∴∠AFC=arctan
即二面角A-BE-C的大小为arctan
分析：（1）要证A₁C∥面AB₁D可证明过A₁C的平面与面AB₁D平行因此取B₁C₁的中点G连接A₁G，CG根据直棱柱的性质可得面A₁GC∥面AB₁D而面A₁C在面A₁GC内故得证．
（2）根据直棱柱的性质可得CA⊥面AA₁B₁B然后再利用三垂线定理作出二面角的平面角再解三角形即可．
点评：本题主要考查了线面平行的证明及二面角的平面角的做法和求二面角的大小．证明此题的关键是要证明线面平行要么利用线面平行的判定定理要么利用面面平行得出线面平行要么利用空间向量证明此线与平面的法向量的数量积为0即可而二面角的作出需过其中一个平面内的一点向另一平面做垂线然后利用三垂线定理作出二面交的平面角但一般情况下垂线不是随意作出的而是题中某些特定线段！