Question

16．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+2（n-1）（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃；
（2）求证：数列{a_n}为等差数列，并求a_n与S_n；
（3）是否存在自然数n，使得S₁+$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$-（n-1）²=2 015？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系式求解a₂，a₃；
（2）通过a_n=S_n-S_n-1，求出通项公式，利用等差数列的定义证明即可．
（3）利用（2）求出$\frac{{S}_{n}}{n}$，然后化简求解即可．

解答 证明　（1）a₁=1，a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+2（n-1）（n∈N^*）．
a₂=5，a₃=9．
（2）由a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+2（n-1），得S_n=na_n-2n（n-1）（n∈N^*）．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），
即a_n-a_n-1=4，故数列{a_n}是以1为首项，4为公差的等差数列．
于是，a_n=4n-3，S_n=$\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}$=2n²-n（n∈N^*）．
（3）由（2），得$\frac{{S}_{n}}{n}$=2n-1（n∈N^*），
又S₁+$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$-（n-1）²=1+3+5+7+…+（2n-1）-（n-1）²=n²-（n-1）²=2n-1．
令2n-1=2 015，得n=1 008，即存在满足条件的自然数n=1 008．

点评 利用数列的通项公式以及递推关系式化简求解，考查数列求和，转化思想以及计算能力．