Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{e}^{-x-1}，x＜-1}\\{（2a-1）x-2a，x≥-1}\end{array}\right.$若函数f（x）的值域为R，则实数a的取值范围为（　　）

• A． a≤-$\frac{1}{4}$
• B． a＜$\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{1}{4}$≤a＜$\frac{1}{2}$
• D． a＞$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式先求出当x＜-1时的取值范围，然后根据函数f（x）的值域为R，确定当x≥-1时，函数f（x）的取值范围即可．

解答 解：当x＜-1时，则-x-1＞0，此时f（x）=2e^-x-1＞2，
若2a-1=0，则a=$\frac{1}{2}$，此时当x≥-1时，f（x）=-1，此时函数f（x）的值域不是R，不满足条件．
若2a-1＞0，即a＞$\frac{1}{2}$时，函数f（x）=（2a-1）x-2a，x≥-1为增函数，
此时f（x）≥-（2a-1）-2a=1-4a，此时函数的值域不是R，
若2a-1＜0，即a＜$\frac{1}{2}$时，函数f（x）=（2a-1）x-2a，x≥-1为减函数，
此时f（x）≤-（2a-1）-2a=1-4a，
若函数的值域是R，
则1-4a≥2，即4a≤-1，即a≤-$\frac{1}{4}$，
故选：A．

点评 本题主要考查函数值域的应用，根据分段函数的表达式的性质，利用数形结合以及分类讨论是解决本题的关键．