试题分析:(Ⅰ)由已知得,
, 1分
由
得
.
,当
时,
递增;
当
时,
,
递减.
在区间[-1,1]上的最大值为
. 2分
又
.
由题意得
,即
,得
为所求。 4分
(Ⅱ)解:由(1)得
,点P(2,1)在曲线
上。
当切点为P(2,1)时,切线
的斜率
,
的方程为
. 5分
当切点P不是切点时,设切点为
切线
的余率
,
的方程为
。又点P(2,1)在
上,
,
,
.
切线
的方程为
.
故所求切线
的方程为
或
. 8分
(Ⅲ)解:
.
.
.
二次函数
的判别式为
得:
.令
,得
,或
。 10分
因为
,
时,
,函数
为单调递增,极值点个数0; 11分
当
时,此时方程
有两个不相等的实数根,根据极值点的定义,
可知函数
有两个极值点. 12分
点评:利用导数的几何意义:函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率,利用几何意义在求解第二问时需分点是否在曲线上两种情况;函数在闭区间上的最值出现在极值点或区间的边界处,函数存在极值需满足函数的导数值有正有负