Question

已知点A₁，A₂是双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的上、下顶点，F是上焦点，B（-b，0），若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点P，Q，使得△PA₁A₂，△QA₁A₂都是以A₁A₂为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围为（　　）

• A、（1，

  5 +1

  2

  ）
• B、（1，

  2

  ）
• C、（

  5 +1

  2

  ，+∞）
• D、（

  2

  ，

  5 +1

  2

  ）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出直线BF的方程为bx+cy-bc=0，利用直线与圆的位置关系，结合a＜b，即可求出双曲线离心率e的取值范围．

解答： 解：由题意，F（0，c），B（-b，0），则直线BF的方程为cx-by+bc=0，
∵在线段BF上（不含端点）存在不同的两点P，Q，使得△PA₁A₂，△QA₁A₂都是以A₁A₂为斜边的直角三角形，
∴

bc

b2+c2

＜a，
∴e⁴-3e²+1＜0，
∵e＞1，
∴e＜

5 +1

2

又∵a＜b，
∴a²＜c²-a²，
∴e＞

2

，
∴

2

＜e＜

5 +1

2

．
故选：D．

点评：本题考查双曲线的简单性质，考查离心率，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．