Question

如图，焦点在x轴的椭圆，离心率A，且过点A（-2，1），由椭圆上异于点A的P点发出的光线射到A点处被直线Q反射后交椭圆于Q点（Q点与P点不重合）．
（1）求椭圆标准方程；
（2）求证：直线PQ的斜率为定值；
（3）求△OPQ的面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

c a = 2 2 4 a2 + 1 b2 =1

，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线AP的方程为y=k（x+2）+1，则直线AQ的方程为y=-k（x+2）+1，由

y=kx+2k+1 x2 6 + y2 3 =1

，得（1+2k²）x²+4k（2k+1）x+8k²+8k-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理，能证明直线PQ的斜率为定值．
（3）由（2）设PQ的方程为y=-x+m，由

y=-x+m x2 6 + y2 3 =1

，得：3x²-4mx+2m²-6=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式能求出三角形面积的最大值．

解答： （1）解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞0，b＞0），
∵e=

c

a

=

2

2

，椭圆经过点（-2，1），
∴

c a = 2 2 4 a2 + 1 b2 =1

，
解得a=

6

，b=

3

，
∴椭圆方程为

x2

6

+

y2

3

=1．
（2）证明：设直线AP的方程为y=k（x+2）+1，
则直线AQ的方程为y=-k（x+2）+1，
由

y=kx+2k+1 x2 6 + y2 3 =1

，得（1+2k²）x²+4k（2k+1）x+8k²+8k-4=0，
△＞0，设P（x₁，y₁），由A（-2，1），得
x1+2=

-4k(2k+1)

1+2k2

，x1=

-4k2-4k+2

1+2k2

，
∴P（

-4k2-4k+2

1+2k2

，

-2k2+4k

1+2k2

），
同理，得Q（

-4k2+4k+2

1+2k2

，

-2k2-4k

1+2k2

），
∴k_PQ=

-2k2-4k 1+2k2 - -2k2+4k 1+2k2

-4k2+4k+2 1+2k2 - -4k2-4k+2 1+2k2

=-1．
（3）解：由（2）设PQ的方程为y=-x+m，
由

y=-x+m x2 6 + y2 3 =1

，联立，得：3x²-4mx+2m²-6=0，
令△＞0，得-3＜m＜3，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则：
x1+x2=

4m

3

，x1x2=

2m2-6

3

，
∴|PQ|²=

16(9-m2)

9

，
设原点O到直线距离为d，则d²=

m2

2

，
∴S△OPQ2=

1

4

|PQ|2d2=

2m2(9-m2)

9

≤

9

2

，
当m=±

3 2

2

时，△OPQ面积的最大值为

9

2

．

点评：本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线的斜率为定值的证明，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．