Question

已知顶点在原点开口向右的抛物线C经过定点P（3，2

3

），斜率为2的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|=3

5

，求圆锥曲线C和直线l的方程．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程,抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用抛物线的定义，可得抛物线方程，直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及弦长公式，即可求得直线方程．

解答： 解：∵顶点在原点开口向右的抛物线C经过定点P（3，2

3

），
∴y²=2px
即12=2p×3，p=2
∴抛物线方程为y²=4x；
设l的方程为y=2x+b，A（x₁y₁），B（x₂，y₂）
由y=2x+b代入y²=4x，消去y，整理得：4x²+4（b-1）x+b²=0，
则x₁+x₂=-（b-1），x₁x₂=

b2

4

，k=2，
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x 1x2]

=

(1+k2)[(b-1)2-b2]

=

(1+k2)(1-2b)

又∵|AB|=3

5

，∴1-2b=9，∴b=-4
故直线?的方程为y=2x-4，
综上所述：圆锥曲线C的方程为y²=4x，直线l的方程为y=2x-4．

点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查弦长的计算，属于中档题．