Question

8．.已知数列{a_n}满足a₁+2a₂+…+na_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+2}}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：对任意的n∈N^*，T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （I）a₁+2a₂+…+na_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，n∈N^*，n＞1时，a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1=（n-2）2ⁿ+2，相减可得：na_n=（n-1）2ⁿ⁺¹-（n-2）2ⁿ，化简即可得出．
（II）b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用裂项求和方法可得：T_n，再利用数列的单调性即可得出．

解答 （I）解：a₁+2a₂+…+na_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，n∈N^*，n＞1时，a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1=（n-2）2ⁿ+2，
∴na_n=（n-1）2ⁿ⁺¹-（n-2）2ⁿ，化为：a_n=2ⁿ．
当n=1时，a₁=2，上式也成立．
∴a_n=2ⁿ．
（II）证明：b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$＜$\frac{3}{4}$．
∴对任意的n∈N^*，T_n＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了数列递推关系、对数运算性质、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．