Question

设数列{a_n}是首项为a₁（a₁＞0），公差为2的等差数列，其前n项和为S_n，且

S1

，

S2

，

S3

成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n]的通项公式；
（Ⅱ）记bn=

an

2n

的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（I）有数列{a_n}是首项为a₁（a₁＞0），公差为2的等差数列且

S1

，

S2

，

S3

成等差数列，可以先求出数列的首项即可；
（II）有 （I）和bn=

an

2n

，求出数列b_n的通项，有通项求出前n项和为T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵S₁=a₁，S₂=a₁+a₂=2a₁+2，S₃=a₁+a₂+a₃=3a₁+6，
由

S1

，

S2

，

S3

成等差数列得，2

S2

=

S1

+

S3

，即2

2a1+2

=

a1

+

3a1+6

，
解得a₁=1，故a_n=2n-1；
（Ⅱ）bn=

an

2n

=

2n-1

2n

=(2n-1)(

1

2

)n，
Tn=1×(

1

2

)1+3×(

1

2

)2+5×(

1

2

)3++(2n-1)×(

1

2

)n，①
①×

1

2

得，

1

2

Tn=1×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+5×(

1

2

)4++(2n-3)×(

1

2

)n+(2n-1)×(

1

2

)n+1，②
①-②得，

1

2

Tn=

1

2

+2×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3++2×(

1

2

)n-(2n-1)×(

1

2

)n+1=2×

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

1

2

-(2n-1)×(

1

2

)n+1=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

，
∴Tn=3-

4

2n

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

．

点评：此题考查了等差数列的通项公式及等差中项，还考查了错位相减法求数列的前n项的和．