Question

如图，在四棱锥V-ABC中，VA=VC=AB=BC=1，∠AVC=∠ABC=90°，二面角V-AC-B的大小为60°．
（1）求证：VB⊥AC；
（2）求四棱锥V-ABC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）取AC的中点为D，连接VD，BD，通过证明直线AC⊥平面VDB，然后证明VB⊥AC；
（2）证明△VDB为等边三角形，利用V_V-ABC=

1

3

S△VDB•AC求三棱锥V-ABC的体积．

解答： （1）证明：取AC的中点为D，连接VD，BD．
∵VA=VB，∴AC⊥VD；同理AC⊥BD．
于是AC⊥平面VDB．
又VB?平面VDB，故VB⊥AC．
（2）解：由（1）知AC⊥平面VDB，
∴∠VDB是二面角V-AC-B的平面角，
∴∠VDB=60°，
∵∠AVC=∠ABC=90°，VA=VC=AB=BC=1，
∴VD=DB=

2

2

，
∴△VDB为等边三角形，
∴V_V-ABC=

1

3

S△VDB•AC=

1

3

•

3

4

•(

2

2

)2•

2

=

6

24

．

点评：本题考查直线与平面的垂直的性质定理以及棱锥体积的求法，考查逻辑思维能力与计算能力．