Question

20．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P（x₀，$\frac{5}{2}$）为双曲线上一点，若△PF₁F₂的内切圆半径为1，且圆心G到原点O的距离为$\sqrt{5}$，则双曲线的离心率是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 设P为第一象限的点，运用圆的切线长定理，及双曲线的定义得到A与A'重合，利用圆心G到原点O的距离为$\sqrt{5}$，求出a，利用等面积，结合双曲线的定义，求出P的坐标，即可得出结论．

解答 解：设P为第一象限的点，
圆与F₁F₂，PF₁，PF₂的切点分别为A'，B，D．
∵|PF₁|-|PF₂|=2a，|PD|=|PB|，|DF₁|=|A'F₁|，|BF₂|=|A'F₂|，
即为|PD|+|DF₁|-|PB|-|BF₂|=|DF₁|-|BF₂|=|A'F₁|-|A'F₂|=2a，
且|A'F₁|+|A'F₂|=2c，可得|A'F₂|=c-a，
则A与A'重合，则|OA'|=|OA|=a，
故$\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\sqrt{5}$，即a=2．
又△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×|2c|=$\frac{1}{2}$（|F₁F₂|+|PF₁|+|PF₂|）×1，
∴|PF₁|+|PF₂|=3c，
∵|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴|PF₁|=$\frac{3c+2a}{2}$，|PF₂|=$\frac{3c-2a}{2}$，
∵|PF₁|=$\sqrt{（{x}_{0}+c）^{2}+\frac{25}{4}}$，|PF₂|=$\sqrt{（{x}_{0}-c）^{2}+\frac{25}{4}}$，联立化简得x₀=3．
P代入双曲线方程，联立解得b=$\sqrt{5}$，c=$\sqrt{4+5}$=3，
即有双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查双曲线的定义、方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．