Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosθ，sinθ），$\overrightarrow{b}$=（1，-2）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求$\frac{3sinθ-2cosθ}{2sinθ+cosθ}$的值；
（2）若θ=45°，2$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{b}$与$\sqrt{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直，求实数t的值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，得tanθ=-4，由$\frac{3sinθ-2cosθ}{2sinθ+cosθ}$=$\frac{3tanθ-2}{2tanθ+1}$，能求出结果．
（2）由θ=45°，得$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），利用向量坐标运算法则求出2$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{b}$和$\sqrt{2}\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，再由2$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{b}$与$\sqrt{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直，能求出t．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（2cosθ，sinθ），$\overrightarrow{b}$=（1，-2），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
∴$\frac{2cosθ}{1}=\frac{sinθ}{-2}$，∴tanθ=-4，
∴$\frac{3sinθ-2cosθ}{2sinθ+cosθ}$=$\frac{3tanθ-2}{2tanθ+1}$=$\frac{3×（-4）-2}{2×（-4）+1}$=2．
（2）∵θ=45°，∴$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴2$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{b}$=（2$\sqrt{2}-t$，$\sqrt{2}+2t$），$\sqrt{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（3，-1），
∵2$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{b}$与$\sqrt{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直，
∴（2$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{b}$）•（$\sqrt{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=（2$\sqrt{2}-t$）×3+（$\sqrt{2}+2t$）×（-1）=0，
解得t=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行、向量垂直、向量坐标运算法则、同角三角函数关系式的合理运用．