Question

不等式ln²（x+1）-

x2

x+1

＜0的解集是

 

．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：由不等式中的对数式的真数大于0求得x的初步范围，把不等式转化为（x+1）ln²（x+1）-x²-1），然后换元令x+1=t（t＞0），通过两次求导后构造函数g（t）=lnt-t+1（t＞0），再由导数研究其最值，得到y在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，进一步把原不等式等价于y＜0?t≠1?x+1≠1?x≠0．结合x＞-1求得原不等式的解集．

解答： 解：由已知得x＞-1，
∴原不等式化为（x+1）ln²（x+1）-x²＜0，
令f（x）=（x+1）ln²（x+1）-x²（x＞-1），
再令x+1=t（t＞0），
y=f（t）=tln²t-（t-1）²（t＞0），
y′=ln2t+2t•

1

t

lnt-2(t-1)=ln²t+2lnt-2t+2（t＞0），
y′′=

2

t

lnt+

2

t

-2=

2

t

(lnt+1-t)（t＞0），
令g（t）=lnt-t+1（t＞0），
g′(t)=

1

t

-1=

1-t

t

(t＞0)，
由g′（t）＞0⇒0＜t＜1，g′（t）＜0⇒t＞1．
∴g（t）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，
∴g（t）_max=g（1）=ln1+1-1=0．
∴g（t）≤0，
∴y′′=

2

t

g(t)≤0．
则y′在（0，+∞）上单调递减，
又y′|t=1=

2

1

(ln1+1-1)=0，
∴0＜t＜1时，y′＞0，t＞1时y′＜0．
∴y在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，
∴ymax=1•ln21-(1-1)2=0．
∴原不等式等价于y＜0?t≠1?x+1≠1?x≠0．
由x＞-1，
∴原不等式的解集为（-1，0）∪（0，+∞）．
故答案为：（-1，0）∪（0，+∞）．

点评：本题考查了含有对数式的不等式的解法，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数判断函数的单调性和求函数的最值，属难度较大的题目．