Question

在△ABC中，AB=3

5

，BC=5，tan（C-

π

4

）=-7．
（1）求△ABC的面积；
（2）求

sin(2A+B)

sinA

-2cos（A+B）的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）由已知化简可得cosC=-

4

5

，从而由余弦定理可得AB²=BC²+AC²-2BC•AC•cosC，可解得AC=2，从而可求△ABC的面积；
（2）原式用两角和的正弦，余弦公式展开化简可得

sinB

sinA

，由正弦定理

sinB

sinA

=

AC

BC

和AC=2，BC=5可得

sinB

sinA

=

2

5

．

解答： 解：（1）在△ABC中，tan（C-

π

4

）=-7⇒

tanC-1

1+tanC

=-7⇒tanC=-

3

4

⇒cosC=-

4

5

⇒sinC=

3

5

，
由余弦定理可知：AB²=BC²+AC²-2BC•AC•cosC，即有45=25+AC²-2×5×AC×(-

4

5

)，可解得AC=2，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC•sinC=

1

2

×2×5×

3

5

=3，
（2）

sin(2A+B)

sinA

-2cos（A+B）=

sin[A+(A+B)]-2cos(A+B)•sinA

sinA

，
=

sin(A+B)cosA-cos(A+B)sinA

sinA

=

sinB

sinA

，
由正弦定理

sinB

sinA

=

AC

BC

和AC=2，BC=5可得

sinB

sinA

=

2

5

，
∴

sin(2A+B)

sinA

-2cos（A+B）=

2

5

．

点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理的综合应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基本知识的考查．