Question

设二次方程a_nx²-a_n+1x+1=0（n=1，2，3，…）有两根α、β，且满足6α-2αβ+6β=3．
（1）试用a_n表示a_n+1；
（2）求证：{a_n-}是等比数列；
（3）当a₁=时，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

(1)根据根与系数的关系，有关系式
代入已知条件6(α+β)-2αβ=3，得-=3．
∴a_n+1=a_n+．
(2)由于a_n+1=a_n+，改写为_an+1-=(a_n-)．
故{a_n-}是等比数列．
(3)当a₁=时，a₁-=．
故{a_n-}是以为首项，以为公比的等比数列．
∴a_n=+()ⁿ，n=1，2，3，…，
即数列{a_n}的通项公式是a_n=+()ⁿ，n=1，2，3，…．

这是有关数列、二次方程的根与系数关系的综合题．根据题目条件列出等量关系，找到递推关系即可求解．