Question

【题目】如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE． （Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵BF⊥平面ACE．∴BF⊥AE ∵二面角D﹣AB﹣E为直二面角．且CB⊥AB．
∴CB⊥平面ABE∴CB⊥AE
∵BF∩CB=B
∴AE⊥平面BCE
（Ⅱ）连接BD交AC交于G，连接FG
∵正方形ABCD边长为2．∴BG⊥AC，BG=
∵BF⊥平面ACE．由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC．
∴∠BGF是二面B﹣AC﹣E的平面角
∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥EC
又∵AE=EB，∴在等腰直角三角形AEB中，BE=
又∵Rt△BCE中，EC=
∴BF= =
∴Rt△BFG中sin∠BGF= =
∴二面角B﹣AC﹣E的正弦值等于
（Ⅲ）过点E作EO⊥AB交AB于点O，OE=1
∵二面角D﹣AB﹣E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD
设D到平面ACE的距离为h，由VD﹣ACE=VE﹣ACD ， 可得h= =
∴点D到平面ACE的距离为 ．

【解析】（Ⅰ）欲证AE⊥平面BCE，由题设条件知可先证BF⊥AE，CB⊥AE，再由线面垂直的判定定理得出线面垂直即可；（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣E的正弦值，需要先作角，连接BD交AC交于G，连接FG，可证得∠BGF是二面B﹣AC﹣E的平面角，在△BFG中求解即可；（Ⅲ）由题设，利用由VD﹣ACE=VE﹣ACD ， 求点D到平面ACE的距离．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．