Question

已知x=3是函数f（x）=（x²+ax-2a-3）e^3-x的极值点．
（1）求f（x）的单调区间（用a表示）；
（2）设a＞0，g（x）=（a²+8）e^x，若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜3成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）f′（x）=（2x+a）e^3-x+（x²+ax-2a-3）（-1）e^3-x
=[-x²+（2-a）x+3a+3]e^3-x=-[x²+（a-2）x-3（a+1）]e^3-x
=-（x-3）[x+（a+1）]e^3-x…（3分）
∵x=3是函数f（x）的极值点
∴-（a+1）≠3即a≠-4
（i）当-（a+1）＜3即a＞-4时
当x∈（-∞，-a-1]和[3，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减
当x∈（-a-1，3）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．…（5分）
（ii）当-（a+1）＞3即a＜-4时
当x∈（-∞，3]和[-a-1，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减
当x∈（3，-a-1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．…（7分）
（2）∵a＞0，∴-（a+1）＜0
∴当x∈[0，3]时f（x）单调递增，当x∈[3，4]时f（x）单调递减
∴当x∈[0，4]时，f_max（x）=f（3）=a+6…（9分）
∵g（x）=（a²+8）e^x在x∈[0，4]时是增函数，g_min（x）=g（0）=a²+8…（11分）
又∵
∴g_min（x）＞f_max（x），∴当x∈[0，4]时，g（x）＞f（x）恒成立．
∴若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜3
只要g_min（x）-f_max（x）＜3即可…（14分）
即
所以a的取值范围为．…（15分）
分析：（1）先求导函数，利用x=3是函数f（x）的极值点，可得-（a+1）≠3即a≠-4，进而分a＞-4与a＜-4，分类讨论，研究函数的单调性；
（2）分别求出g_min（x）与f_max（x），再将问题等价转化为：若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜3，只要g_min（x）-f_max（x）＜3即可，从而解不等式，即可求出a的取值范围．
点评：本题以函数的极值为载体，考查导数的运用，考查利用导数求函数的单调区间，同时考查学生分析解决问题的能力．