Question

把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的正弦值为

2

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．

Answer 1

分析：欲使得三棱锥体积最大，因为三棱锥底面积一定，只须三棱锥的高最大即可，即当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，从而可得直线BD和平面ABC所成的角的正弦值．

解答：解：如图，当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大
取AC的中点E，则BE⊥平面DAC，
故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE
∵BE=ED
∴∠DBE=45°
∴sin∠DBE=

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故答案为：

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点评：本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．