Question

6．已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x²+y²-2y=0的两条切线，A、B为切点，若四边形PACB面积的最小值是2，则k的值是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{21}}{2}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由圆的方程为求得圆心C，半径r，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后利用点到直线的距离求出直线的斜率即可．

解答 解：∵圆的方程为：x²+（y-1）²=1，
∴圆心C（0，1），半径r=1．
根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，
即距离为圆心到直线l的距离最小时，
切线长PA，PB最小．切线长为2，
∴PA=PB=2，
∴圆心到直线l的距离为d=$\sqrt{5}$．直线方程为y+4=kx，即kx-y-4=0，
∴$\sqrt{5}$=$\frac{|-4-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，解得k=±2，
∵k＞0，∴所求直线的斜率为：2．
故选C．

点评 本题的考点是直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，解题的关键是“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”属于中档题．