Question

13．设S_n为数列{a_n}的前项和，已知a₁≠0，2a_n-a₁=S₁•S_n，n∈N⁺．
（1）求a₁，并求证数列{a_n}为等比数列；
（2）求数列{na_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）S₁=a₁≠0，当n=1时，2a₁-a₁=a₁•a₁，解得a₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1，即可证明．
（2）a_n=2^n-1．na_n=n•2^n-1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S₁=a₁≠0，∴当n=1时，2a₁-a₁=a₁•a₁，解得a₁=1，
下面证明：数列{a_n}为等比数列．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{2{a}_{n}-{a}_{1}}{{S}_{1}}$-$\frac{2{a}_{n-1}-{a}_{1}}{{S}_{1}}$，化为：a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}为等比数列，公比为2，首项为1．
（2）a_n=2^n-1．
na_n=n•2^n-1．
∴数列{na_n}的前n项和T_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2T_n=2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的定义与通项公式求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．