Question

6．若实数a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，则当$\frac{2a+b}{4}$的最小值为m时，不等式m^|x-1|-|x+2|＜1解集为$（-\frac{1}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 利用基本不等式求出m，利用指数函数的单调性转化不等式，即可得出结论．

解答 解：∵实数a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，
∴$\frac{2a+b}{4}$=$\frac{2a+b}{4}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）=$\frac{1}{4}$（4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$）≥2，
∴m=2．
不等式m^|x-1|-|x+2|＜1等价于|x-1|-|x+2|＜0，
∴2x+1＞0，
∴x＞-$\frac{1}{2}$
∴不等式m^|x-1|-|x+2|＜1解集为$（-\frac{1}{2}，+∞）$．
故答案为$（-\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 本题考查基本不等式的运用，考查学生解不等式的能力，正确转化是关键．