Question

已知函数y=1+

2a(sinθ-cosθ)

a2+2acosθ+2

（a，θ∈R，a≠0），那么对于任意的a，θ，则此函数的最大值与最小值之和为

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：将所求关系式进行化简，利用直线和圆的位置关系即可求得函数y的最大值和最小值．

解答： 解：y=1+

2a(sinθ-cosθ)

a2+2acosθ+2

=

a2+2asinθ+2

a2+2acosθ+2

，
设t=

a2+2asinθ+2

a2+2acosθ+2

，
则2atcosθ-2asinθ+（t-1）（a²+2）=0，
设x=cosθ，y=sinθ，则P（x，y）的轨迹为圆x²+y²=1，
即直线2atx-2ay+（t-1）（a²+2）=0与圆x²+y²=1有公共点，
即

|t-1|(a2+2)

2|a|• t2+1

≤1，
整理得

|t-1|

t2+1

≤

2|a|

a2+1

≤

2|a|

2 2 |a|

=

1

2

，
于是

|t-1|

t2+1

≤

1

2

，
得t²-4t+1≤0，
解得2-

3

≤t≤2+

3

．
∴函数y的最大值为2+

3

，最小值为2-

3

，
则函数的最大值与最小值之和为2+

3

+2-

3

=4，
故答案为：4

点评：本题考查三角函数的最值，着重考查直线与圆的位置关系，突出等价转化思想与综合运算能力，属于难题．