Question

2．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），圆F：（x-c）²+y²=c²，直线l与双曲线C的一条渐近线垂直且在x轴上的截距为$\frac{2}{3}$a．若圆F被直线l所截得的弦长为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$c，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由题意，设直线方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-$\frac{2}{3}$a），即$\frac{a}{b}$x+y-$\frac{2{a}^{2}}{3b}$=0，利用圆F被直线l所截得的弦长为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$c，可得圆心到直线的距离d=$\frac{|\frac{ac}{b}-\frac{2{a}^{2}}{3b}|}{\sqrt{\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}+1}}$=$\sqrt{{c}^{2}-（\frac{2\sqrt{2}}{3}c）^{2}}$，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，设直线方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-$\frac{2}{3}$a），即$\frac{a}{b}$x+y-$\frac{2{a}^{2}}{3b}$=0，
∵圆F被直线l所截得的弦长为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$c，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|\frac{ac}{b}-\frac{2{a}^{2}}{3b}|}{\sqrt{\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}+1}}$=$\sqrt{{c}^{2}-（\frac{2\sqrt{2}}{3}c）^{2}}$，
∴e²-3e+2=0，
∵e＞1，
∴e=2，
故选C．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查直线与圆的位置关系的运用，属于中档题．