Question

17．定义符号函数为sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$，则下列命题：
①|x|=x•sgn（x）；
②关于x的方程lnx•sgn（lnx）=sinx•sgn（sinx）有5个实数根；
③若lna•sgn（lna）=lnb•sgn（lnb）（a＞b），则a+b的取值范围是（2，+∞）；
④设f（x）=（x²-1）•sgn（x²-1），若函数g（x）=f²（x）+af（x）+1有6个零点，则a＜-2．
正确的有（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 由x＞0，x=0，x＜0，结合符号函数即可判断①；
由符号函数可得f（x）=lnx•sgn（lnx），g（x）=sinx•sgn（sinx），画出它们的图象，即可判断②；
由题意可得a＞1，0＜b＜1，推得ab=1，由基本不等式即可判断③；
由符号函数，画出y=f（x）的图象，令t=f（x），即有方程t²+at+1=0的两根，一个大于1，另一个介于（0，1），结合二次函数的图象，可得不等式组，解不等式即可判断④．

解答 解：①当x＞0时，x•sgn（x）=x，
当x=0时，x•sgn（x）=0，
当x＜0时，x•sgn（x）=-x．
故|x|=x•sgn（x）成立，
故①正确；
②设f（x）=lnx•sgn（lnx），
当lnx＞0即x＞1时，f（x）=lnx，
当lnx=0即x=1时，f（x）=0，
当lnx＜0即0＜x＜1时，f（x）=-lnx，
作出y=f（x）的图象（如右上）；
设g（x）=sinx•sgn（sinx），
当sinx＞0时，g（x）=sinx，
当sinx=0时，g（x）=0，
当sinx＜0时，g（x）=-sinx，
画出y=g（x）的图象（如右上），
由图象可得y=f（x）和y=g（x）有两个交点，
则关于x的方程lnx•sgn（lnx）=sinx•sgn（sinx）有2个实数根，
故②错误；
③若lna•sgn（lna）=lnb•sgn（lnb）（a＞b），
则a＞1，0＜b＜1，即有lna=-lnb，
可得lna+lnb=0，即ab=1，
则a+b＞2$\sqrt{ab}$=2，则a+b的取值范围是（2，+∞），
故③正确；
④设f（x）=（x²-1）•sgn（x²-1），
当x²-1＞0即x＞1或x＜-1，即有f（x）=x²-1，
当x²-1=0即x=±1，f（x）=0，
当x²-1＜0即-1＜x＜1，f（x）=1-x²，
作出f（x）的图象，（如下图）
令t=f（x），可得函数y=t²+at+1，
若函数g（x）=f²（x）+af（x）+1有6个零点，
则t²+at+1=0有6个实根，
由于t=0不成立，方程t²+at+1=0的两根，一个大于1，另一个介于（0，1），
则$\left\{\begin{array}{l}{{0}^{2}+a•0+1＞0}\\{{1}^{2}+a+1＜0}\\{△={a}^{2}-4＞0}\end{array}\right.$即为$\left\{\begin{array}{l}{a＜-2}\\{a＞2或a＜-2}\end{array}\right.$，解得a＜-2，
故④正确．
故正确的个数有3个．
故选：D．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查函数方程的转化思想，以及分类讨论的思想方法，注意运用数形结合的思想方法，考查分析问题和解决问题能力，属于难题．