Question

7．在三棱锥E-ABC中，AB⊥AC，AB=1，AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点D在线段BC上，且BD=2CD，ED⊥平面ABC，F，G，H是EB，EA，EC上的点，FH与ED交于点I．
（I）若$\frac{EF}{EB}$=$\frac{EG}{EA}$=$\frac{EH}{EC}$=$\frac{2}{3}$，证明：GI∥AD；
（Ⅱ）证明：AD⊥BE．

Answer 1

分析 （I）由题意可证FG∥BA，FH∥BC，进而可证平面FGH∥平面ABC，利用面面平行的性质即可证明GI∥AD；
（Ⅱ）由已知可求BC，BD，DC的值，由于cos²B+cos²C=1，设AD=x，则由余弦定理可得27x⁴-42x²+11=0，解得AD，利用勾股定理可求AD⊥BC，利用线面垂直的性质可证ED⊥AD，进而可证AD⊥平面EBD，利用线面垂直的性质可证AD⊥BE．

解答 证明：（I）∵由题意，$\frac{EF}{EB}$=$\frac{EG}{EA}$=$\frac{EH}{EC}$=$\frac{2}{3}$，则FG∥BA，FH∥BC，
又∵AB∩BD=B，FG∩FH=F，
∴平面FGH∥平面ABC，
∵平面EAD∩平面ABC=AD，平面EAD∩平面FGH=GI，
∴GI∥AD；
（Ⅱ）∵AB=1，AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AB⊥AC，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵BD=2CD，可得：BD=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，DC=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴由cos²B+sin²B=1，cos²B+cos²C=1，
∴设AD=x，则由余弦定理可得：[$\frac{1+（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}-{x}^{2}}{2×\frac{\sqrt{6}}{3}}$]²+[$\frac{（\frac{\sqrt{6}}{6}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}-{x}^{2}}{2×\frac{\sqrt{6}}{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$]²=1，
整理可得：27x⁴-42x²+11=0，解得：x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，或$\frac{\sqrt{11}}{3}$（此时，AD＞AB＞BD，而B为锐角，故舍去），
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得：AD²+BD²=AB²，
∴AD⊥BC，
又∵ED⊥平面ABC，AD?平面ABC，可得：ED⊥AD，且ED∩BC=D，
∴AD⊥平面EBD，
∵BE?平面EBD，
∴AD⊥BE．

点评 本题主要考查了面面平行的性质，余弦定理，勾股定理，线面垂直的判定和性质的综合应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．