Question

5．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ACD的外接圆交BC于E点．
（Ⅰ）证明：$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AD}{BD}$；
（Ⅱ）若2AD=BD=AC，求$\frac{BE}{EC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）延长CD至点F，使得BF=BD，连接BF．证明△CAD∽△CBF，即可得出结论；
（Ⅱ）利用CD是∠ACB的角平分线，BD=AC=2AD，得出BC=2AC=4AD．由割线定理可得BE•BC=BD•BA，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）证明：延长CD至点F，使得BF=BD，连接BF．
因为BF=BD，所以∠BFD=∠ADC，
因为CD是∠ACB的角平分线，所以∠ACD=∠BCF，
所以△CAD∽△CBF
所以$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AD}{BF}$，
因为BF=BD，所以$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AD}{BD}$；
（Ⅱ）解：因为CD是∠ACB的角平分线，BD=AC=2AD，
所以$\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{AD}$=2，
所以BC=2AC=4AD．
由割线定理可得BE•BC=BD•BA，
∴BE=$\frac{3}{2}$AD，
∴EC=4AD-$\frac{3}{2}$AD=$\frac{5}{2}$AD，
所以$\frac{BE}{EC}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查角平分线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．