【题目】已知函数f(x)=|x+1|.
(1)若不等式f(x)≥|2x+1|1的解集为A,且,求实数t的取值范围;
(2)在(1)的条件下,若,证明:f(ab)>f(a)f(b).
【答案】(1)(,2] (2)详见解析
【解析】
(1)零点分区间去掉绝对值,得到解集为{x|-1≤x≤1},由集合间的包含关系得到-1≤1-t<t-2≤1,解得;(2)原式等价于|ab+1|>|a+b|,即证|ab+1|2>|a+b|2,两边展开,提公因式即可得证.
(1)不等式f(x)≥|2x+1|-1,即|x+1|-|2x+1|+1≥0.
当x<-1时,不等式可化为-x-1+(2x+1)+1≥0,解得x≥-1,这时原不等式无解;
当,不等式可化为x+1+(2x+1)+1≥0,解得x≥-1,这时不等式的解为;
当时,不等式可化为x+1-(2x+1)+1≥0,解得x≤1,这时不等式的解为.
所以不等式f(x)≥|2x+1|-1的解集为{x|-1≤x≤1}.
因为[1-t,t-2]A,
所以-1≤1-t<t-2≤1,解得.
即实数t的取值范围是(,2].
(2)证明:因为f(a)-f(b)=|a+1|-|-b+1|≤a+1-(-b+1)=|a+b|,
所以要证f(ab)>f(a)-f(-b)成立,
只需证|ab+1|>|a+b|,即证|ab+1|2>|a+b|2,
也就是证明a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2成立,
即证a2b2-a2-b2+1>0,即证(a2-1)(b2-1)>0.
因为A={x|-1≤x≤1},,
所以|a|>1,|b|>1,a2>1,b2>1.
所以(a2-1)(b2-1)>0成立.
从而对于任意的,都有f(ab)>f(a)-f(-b)成立.
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【题目】某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位:℃)的数据,绘制了下面的折线图.( )
已知该城市各月的最低气温与最高气温具有较好的线性关系,则根据折线图,下列结论正确的是
A.最低气温与最高气温为正相关B.10月的最高气温不低于5月的最高气温
C.月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月D.最低气温低于0 ℃的月份有4个
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【题目】任意给定一个大于1的整数n,试设计一个程序或步骤对n是否为素数作出判断.算法:第一步:判断n是否等于2.若______,则_______;若______,则执行第二步;第二步:依次从_______是不是n的因数,若有_________,则n不是_________数;若_______,则n____________.
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【题目】已知点O为坐标原点,椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点I,J分别是椭圆C的右顶点、上顶点,△IOJ的边IJ上的中线长为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点H(-2,0)的直线交椭圆C于A,B两点,若AF1⊥BF1,求直线AB的方程.
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【题目】如图,有一种游戏画板,要求参与者用六种颜色给画板涂色,这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2,其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色,金色1、金色2是两种不同的颜色,要求红色不在两端,黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻,则不同的涂色方案有( )
A.120种B.240种C.144种D.288种
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【题目】全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动,旨在全面提高国民体质和健康水平.某市的体育部门对某小区的4000人进行了“运动参与度”统计评分(满分100分),得到了如下的频率分布直方图:
(1)求这4000人的“运动参与度”的平均得分(同一组中数据用该组区间中点作代表);
(2)由直方图可认为这4000人的“运动参与度”的得分服从正态分布,其中,分别取平均得分和方差,那么选取的4000人中“运动参与度”得分超过84.81分(含84.81分)的人数估计有多少人?
(3)如果用这4000人得分的情况来估计全市所有人的得分情况,现从全市随机抽取4人,记“运动参与度”的得分不超过84.81分的人数为,求.(精确到0.001)
附:①,;②,则,;③.
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【题目】某班教室桌椅6排7列,有40名同学.空出最后一排的某两个位置,其余人按身高和视力排座位.班中有24人身高高,有18人视力好,其中,有6名同学同时具备此两个条件.已知若一名同学个子矮视力又不好,则他必须坐在前三排;若一名同学个子高视力又好,则他必须坐在最后三排.设排座位的方法是,则的质因数分解中的2的次数是______.
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【题目】某学校初中部共120名教师,高中部共180名教师,其性别比例如图所示,已知按分层抽样方法得到的工会代表中,高中部女教师有6人,则工会代表中男教师的总人数为________.
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