Question

在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)                                                                             (　　)

A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数

B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数

C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数

D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数

思路　根据函数是偶函数和关系式f(x)＝f(2－x)，可得函数图像的两条对称轴，只要结合这个对称性就可以逐次作出这个函数的图像，结合图像对问题作出结论．

Answer 1

B

解析　方法一　由函数是偶函数，知函数的图像关于y轴对称，函数在区间[－2，－1]上的单调性与在区间[1,2]上的单调性相反，为增函数； 由f(x)＝f(2－x)知函数的图像关于直线x＝1对称，故函数在区间[3,4]上的单调性与在区间[－2，－1]上的单调性相反，为减函数．故选B.

方法二　求解本题的难点在于函数的抽象性，化解难点的基本思想是充分利用函数的性质进行推理，如根据函数是偶函数可得f(－x)＝f(x)，再根据f(x)＝f(2－x)，把其中的x换成－x可得f(－x)＝f(2＋x)，即f(x)＝f(x＋2)，即函数是周期为2的偶函数，再根据f(x)＝f(2－x)推知函数图像关于直线x＝1对称．