Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，满足关系S_n=2a_n-2．
（1）证明：{a_n}是等比数列；
（2）在正数数列{c_n}中，设（c_n）ⁿ⁺¹=

(n+1)

2n+1

a_n+1（n∈N^*），求数列{lnc_n} 中的最大项．

Answer 1

考点：等比关系的确定,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）根据等比数列的定义以及a_n与S_n的关系即可证明数列{a_n} 是等比数列，
（2）求出数列{c_n}的通项公式以及数列{lnc_n}的公式，利用导数研究数列数列{lnc_n}的单调性即可得到结论．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-2．  ①
∴S_n+1=2a_n+1-2．  ②
②-①，得a_n+1=2a_n+1-2a_n．
∵a_n＞0
∴

an+1

an

=2
故数列{a_n} 是等比数列
∴s₁=2a₁-2
∴a₁=2
∴an=2n
（2）（c_n）ⁿ⁺¹=

(n+1)

2n+1

a_n+1=

n+1

2n+1

•2ⁿ⁺¹=n+1
∴cn=

n+1	n+1

，lnc_n=

ln(n+1)

n+1

．
则c₁c₃＞c₄＞???猜想当n≥2时，{c_n}是递减函数，
令f（x）=

lnx

x

，则f'（x）=

1-lnx

x2

，
当x≥3时，lnx＞1，此时f'（x）＜0，
∴当x≥3时，函数f（x）单调递减．
即当n≥2时，{lnc_n}是递减数列，
又c₁＜c₂，
∴数列{lnc_n} 中的最大项为c2=

3	3

．

点评：本题主要考查等比数列的定义和应用，以及利用导数研究函数的单调性，综合性较强，难度较大，考查学生的计算能力．